どうアプローチしたらいいでしょうか

自分は３０代の男です。
いま気になってる２０代前半の女性がいて、相手とは街コンで知り合って、その日からメールは毎日してて、１度２人で水族館にも行きました。楽しかったとメールもくれたので順調かな？？とも思ってるんですが、次回の会うお誘いに対しては今月は仕事が忙しいと言う理由でまだ日にちも決められない状況です。会える時間ができたら連絡くれる話にはなってますが。
忙しいのはほんとのような気もするんですが、気になる点もあって、メールは毎日必ず返信くれるけど、短文で自分の質問に答えるだけで自分には一切質問はしてくれません。
あと、本人曰く人見知りみたいで、肉食系がタイプみたいです。自分は草食系ですが、なんとかもっと距離を締めたいと思ってるんですが、このような状況でどうアプローチしたらいいでしょうか。
堂々と余裕あるように見せて？？相手から連絡が来るまでひたすら待つか、メールは今まで通り毎日送って会話はしておくか、具体的な日にちや時間を提案してなんとか会う約束を取り付けようと試みるか。